Mathematik - Blog

Hier gibt's in unregelmäßiger Reihenfolge kurze spannende interessante oder ungewöhnliche Mathematik-Beiträge.
   

   
Das Königsberger Brückenproblem
Zur Zeit von Leonard Euler floss in Königsberg der Fluss Pregel - wie in der Abbildung rechts dargestellt. Es führten zur Insel A und zu den Stadtteilen B, C und D genau sieben Brücken.

Euler stellte sich die folgende Frage: Ist es möglich, alle Brücken nacheinander zu passieren, ohne eine auszulassen oder mehr als einmal zu überschreiten?

Man könnte natürlich Zettel und Bleistift zur Hand nehmen und einfach versuchen, durch Probieren eine Lösung zu finden. Aber wann hat man alle Möglichkeiten durchprobiert? Kann man beim Probieren irgend ein System verwenden oder eine Reihenfolge angeben?

Jedenfalls wird irgendwann die Vermutung auftauchen, dass es vielleicht gar keine Lösung gibt.

Wie kann man einen möglichen Lösungsweg beschreiben? - Indem man die Abürzungen A, B, C und D der Stadtteile aneinander reiht und so einen Weg beschreibt. BCD bedeutet z.B. vom Gebiet B in das Gebiet C und dort weiter nach D - welche Brücken dabei verwendet werden ist egal.
Jeder Zwischenraum zw. 2 Buchstaben entspricht dabei einer Brücke. Da ich 7 Brücken habe, benötige ich für die Beschreibung des Wegs 8 Buchstaben - wobei natürlich A, B C und D auch mehrfach vorkommen.
Als Nächstes überlege ich, wie oft jeder Buchstabe in dieser Buchstabenkette vorkommen muss. In das Gebiet B führen 3 Brücken:entweder beginne ich mit B und benutze eine Brücke, dann kommt B nochmals vor, wenn ich über die 2. Brücke B betrete und über die dritte verlasse. B muss als 2x aufscheinen. Ebenso verhält es sich, wenn ich in B ende.

Die gleichen Überlegungen gelten für die Gebiete C und D.

Ähnlich verfahre ich bei der Insel A: entweder Start auf A, dann zweimaliger Durchmarsch, oder in A endet der Weg. Auf jeden Fall brauche ich A 3x in der Kette.

A 3x, B 2x, C 2x und D 2x - das sind 9 Buchstaben (unanbhändig von der Reihenfolge).

8 Buchstaben anordnen und 9 Buchstaben verwenden geht nun wirklich nicht.

Die logische Folgerung: es lässt sich kein Weg finden, der über jede Brücke genau einmal führt - die Aufgabe ist daher nicht lösbar.

Diese Aufgabe gehört zum mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Erwähnenswert ist in diesem Zusammenhang, dass man in der Mathematik auch beweisen kann, dass es etwas nicht gibt.

   
   
   

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